c语言-整数划分问题的递归算法

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一,有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分,是指把一个正整数n写成如下形式:

n=m1+m2+…+mi; (其中mi为正整数,并且1 <=m i <=n ),则{m1,m2,…,mi}为n的一个划分。

如果{m1,m2,…,mi}中的最大值不超过m,即max(m1,m2,…,mi) <=m,则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

例如但n=4时,他有5个划分,{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。

该问题是求出n的所有划分个数,即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;

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(一)递归法

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根据n和m的关系,考虑以下几种情况:

(1)当n=1时,不论m的值为多少(m>0),只有一种划分即{1};

(2) 当m=1时,不论n的值为多少,只有一种划分即n个1,{1,1,1,…,1};

(3) 当n=m时,根据划分中是否包含n,可以分为两种情况:

(a). 划分中包含n的情况,只有一个即{n};

(b). 划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比n小,即n的所有(n-1)划分。

因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

(4) 当n <m时,由于划分中不可能出现负数,因此就相当于f(n,n);

(5) 但n>m时,根据划分中是否包含最大值m,可以分为两种情况:

(a). 划分中包含m的情况,即{m, {x1,x2,…xi}}, 其中{x1,x2,… xi} 的和为n-m,可能再次出现m,因此是(n-m)的m划分,因此这种划分

个数为f(n-m, m);

(b). 划分中不包含m的情况,则划分中所有值都比m小,即n的(m-1)划分,个数为f(n,m-1);

因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

综合以上情况,我们可以看出,上面的结论具有递归定义特征,其中(1)和(2)属于回归条件,(3)和(4)属于特殊情况,将会转换为情况(5)。而情况(5)为通用情况,属于递推的方法,其本质主要是通过减小m以达到回归条件,从而解决问题。其递推表达式如下:

f(n, m)= 1; (n=1 or m=1)

f(n, n); (n <m)

1+ f(n, m-1); (n=m)

f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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22
#include <stdio.h>
int IntDivide(int n, int m)
{
if((n<1)||(m<1))
return 0;
if((n==1)||(m==1))
return 1;
if(n<m)
return IntDivide(n,n);
if(n==m)
return IntDivide(n,n-1)+1;
return IntDivide(n-m,m)+IntDivide(n,m-1);
}
int main()
{
int n=0,m=0;
int result=0;
scanf(“%d %d”,&n,&m);
result = IntDivide(n,m);
printf(“%d\n”,result);
return 0;
}
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